Введение

Нельзя недооценивать возможности математики. Но, к сожалению, многие люди считают, что математика – «сухая» наука, и в ней нет ничего интересного: одни цифры да формулы. С этим можно не согласиться. Бертран Рассел, английский математик и философ, говорил: "Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту".

Презентация  

Чтобы подтвердить эту мысль, хотелось бы, рассказать о фракталах. Мы встречаемся с ними каждый день, но мало кто знает, что это и есть фракталы. Что же такое фракталы? Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом. В повседневной жизни мы можем увидеть фракталы на рисунке обоев, на ткани, заставке рабочего стола на компьютере, дизайне открыток, тетрадей, книг. В природе – это растения, морские животные, природные явления. Исследовать особенности фрактальных моделей, с тем, чтобы использовать их для практического применения – интересная задача, которая мотивирует на изучение нового, пробуждает интерес получить знания в такой области математики, как фрактальная геометрия, алгебраические фракталы, а также в области информатики – программирование фракталов.

Цели работы:

• Провести исследование и сделать выводы.
• Выявить способы построения фракталов и их виды.
• Выяснить, как в жизни могут помочь знания по этой теме.

История возникновения фракталов

     Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке.

Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками (Приложение 1).

Джузе́ппе Пеа́но (1858—1932) — итальянский математик изобразил особую линию. Он брал прямую и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком. И так до бесконечности. Уникальность такой линии в том, что она заполняет всю плоскость. Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве.

Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0).

А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, похожим на описанные выше (Броуновское движение, цены на акции). Этими вопросами занимались такие ученые как Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и др. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии. Он работал в известной фирме IBM математическим аналитиком. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature”. В его работах использованы научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 годов. Но только в наше время Мандельброту удалось объединить их работы в единую систему, т.к. у него была возможность использовать великое достижение XX века – электронно-вычислительные машины.

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов.

В основном фракталы классифицируют по трём видам:

1. Алгебраические фракталы
2. Геометрические фракталы
3. Стохастические фракталы

Алгебраические фракталы

Алгебраические фракталы – это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методов

получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет

собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится – на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта – фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано.

Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является снежинка Коха (Приложение 2). Строится она на основе равностороннего треугольника, каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длиной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. Если сделать бесконечное число итераций – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Драконова ломаная

     Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла (Приложение 2). При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй – вовнутрь.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма" (Приложение 3). Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ.

Создание собственных фракталов

Экспериментальным путем нам удалось смоделировать небольшой видоизмененный фрагмент фрактала "Кривая Коха", т.е. составить компьютерную программу используя среду QB64, поддерживающую графику.

     Таким образом, мы можем создавать фракталы. Это достаточно сложно. Для людей, которые не обладают навыками программирования, есть возможность создания своих фракталов, путем использования разработанных программистами программ, таких как: FractalExplorer, UltraFRACTAL, Apophsis, Mystica, ChaosProи др. Чтобы создать фракталы для практического применения, была выбрана программа Chaos Pro, которая является одним из лучших генераторов фрактальных изображений, с помощью которого можно создать множество удивительных по красоте фракталов. Программа имеет удобный интерфейс и позволяет полностью управлять процессом построения фракталов за счет изменения большого количества настроек (число итераций, цветовая палитра, степень размытия, особенности проецирования, размер изображения и др.). Кроме того, создаваемые изображения могут быть многослойными, и к ним можно применить целую серию фильтров.

В будущем я бы хотела стать дизайнером по моделированию одежды. У меня появилась идея: сделать из ярких, оригинальных, необычных фракталов узор по ткани, которую можно использовать для создания модной одежды. Используя программу Chaos Pro, получилось создать свои собственные фракталы, которые стали узором одежды (Приложение 5) . Работа была выполнена в виде эскизов. Такую ткань можно применять к одежде в абсолютно разных стилях: и повседневная одежда, и вечерние наряды, и классические костюмы (Приложение 6). Необычный узор ложится на разные текстуры, тем самым подчеркивая легкость силуэта, или, наоборот, некоторую сдержанность, глубину. В любом случае такая одежда становится незабываемой за счет особенности красоты необыкновенных узоров.

Фракталы в природе

Фракталы в природе – это частое явление. Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения (Приложение 7). Это и молния, пронизывающая небо до горизонта; изрезанная береговая линия материка и горные массивы; подводные кораллы, в природе их насчитывается свыше 3500 разновидностей, и морские раковины; осьминог с фрактальным строением тела и присосок на всех восьми щупальцах, и брюхоногий голожаберный моллюск; цветная коралловая капуста, обладающая нестандартным выпуклым рельефом; деревья листья цветы; кровеносная система человека и многое др. На картине японского художника Хокусаи "Большая волна" можно заметить, что художник, рисуя гребень волны, использовал фрактал, подмеченный в природе, как бы состоящий из многочисленных хищных водяных лап.

Применение фракталов

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, получить линии и поверхности очень сложной формы. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, объемных рельефных гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Фрактальная компьютерная графика широко используется при создании мультфильмов и фантастических художественных фильмов. Используются антенны, имеющие фрактальные формы (Приложение 8), что сильно уменьшает их размеры и вес. Если же рассматривать фракталы с точки зрения биологии, то это моделирование любых хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

Заключение

Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина   применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает: одежда, элемент декора интерьера, дизайн открыток, штор и многого другого. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в экспериментальной части работы: создание эскизов одежды с использованием фрактальных моделей. Современная мода стала более функциональной и разнообразной. Она отличается большим разнообразием стилей: от традиционной классики и любимого многими спортивного направления до «техно», «хаус», «гранж», «панк», «винтаж»,«bike», «casual», «карго». Каждый день дизайнеры удивляют нас новыми образами, ведь любой из этих стилей можно раскрыть по-новому, путем экспериментов и воплощения в жизнь смелых идей, что позволяет найти свой неповторимый образ, который выделяет человека как личность. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, сочные, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные графические программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление.

Список литературы

 

• 1 .Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2001 г.
• 2. Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2000 г.
• 3. Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-1995.
• 4. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
• 5. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории
• 6. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, «Фракталы в физике». М.: Мир 1988 г.
• 7. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.
• 8. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999.

 

Интернет ресурсы

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://arbuz.uz/s_fractal.html

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://www.math.yale.edu/mandelbrot/